Concerning the semistability of tensor products in Arakelov geometry

— We study the semistability of the tensor product of hermitian vector bundles by using the ε-tensor product and the geometric (semi)stability of vector subspaces in the tensor product of two vector spaces. Notably, for any number field K and any hermitian vector bundles E and F over SpecOK , we show that the maximal slopes of E, F , and E ⊗ F satisfy the following inequality : μ̂max(E ⊗ F ) 6 μ̂max(E) + μ̂max(F ) + 1 2 min ( log(rkE), log(rkF ) ) . We also prove that, for any OK -submodule V of E ⊗ F of rank 6 4, the slope of V satisfies: μ̂(V ) 6 μ̂max(E) + μ̂max(F ). This shows that, if E and F are semistable and if rkE. rkF 6 9, then E ⊗ F also is semistable. Résumé. — Nous étudions la semi-stabilité du produit tensoriel de fibrés vectoriels hermitiens en utlisant le produit ε-tensoriel et la (semi-)stabilité géométrique des sous-espaces vectoriels dans le produit tensoriel de deux espaces vectoriels. En particulier, si K désigne un corps de nombres et si E et F sont deux fibrés vectoriels hermitiens sur SpecOK , nous montrons que les pentes maximales de E, F et E ⊗ F satisfont à l’inégalité : μ̂max(E ⊗ F ) 6 μ̂max(E) + μ̂max(F ) + 1 2 min ( log(rkE), log(rkF ) ) . Nous prouvons aussi que, pour tout sous OK -module V de E ⊗ F de rang 6 4, la pente de V vérifie : μ̂(V ) 6 μ̂max(E) + μ̂max(F ). Cela entraîne que, si rkE. rkF 6 9 et que E et F sont semistables, le produit tensoriel E ⊗ F l’est aussi.